Principio de No-Contradicción dentro de dos sistemas de lógicas trivalentes. Resumen

La presente ponencia tiene como finalidad mostrar los puntos principales de dos sistemas trivalentes, así como el análisis del principio de no contradicción en cada uno de ellos. Para ello se expondrán los lenguajes de Lukasiewicz y Kleene.
En el año de 1920 Jan Lukasiewicz introdujo a los sistemas lógico formales bivalentes, un tercer valor de verdad, “neutro” “indeterminado” o “intermedio” entre el valor verdadero y el valor falso.
Para Lukasiewicz, el tercer valor de verdad se corresponde con el futuro contingente, con posibilidades que no son necesarias. Todas las proposiciones que refieran a posibilidades reales dentro en un futuro contingente, no pueden ser consideradas en el momento presente ni verdaderas ni falsas, por lo que debe existir un tercer valor de verdad.
Lukasiewicz usa como ejemplo su presencia en Warsaw, el 21 de diciembre del próximo año. Una proposición en la cual se exprese la presencia de Lukasiewicz el 21 de diciembre del próximo año, en ésta ciudad polaca, no es ni verdadera ni falsa. El futuro contingente no tiene correspondencia con ninguno de los valores de verdad de la lógica clásica bivalente. La letra “I” hará referencia a este nuevo valor de verdad, indeterminado.
Lukasiewicz usa como operadores primitivos la negación y la implicación, y define los otros operadores a partir de ellos:
pVq es definida (p→q) →q
p^q es definida ~(~p~q)
p≡q es definida (p→q) ^(q→p)
La implicación tiene una característica peculiar con respecto a su tabla de verdad. Los valores de verdad de la implicación es la misma que tiene la formula ~pVq, al igual que en C2. Con la excepción de cuando el valor de verdad de ambas variables propsicionales tiene el valor de I, que dan como resultado T, asegurando así que a→a sea Tautología.
Una vez señaladas las principales características de L3 será necesario revisar si las Tautologías que existían en C2 lo siguen siendo en L3. Cabe hacer la mención que toda Tautología en L3 será tautología en C2 pues ambos lenguajes tiene los mismos significados al considerar sólo los valores de verdad V y F. En el caso de las Tautologías de C2 pueden dejar de serlo al introducir el valor de verdad indeterminado.
El primer caso en analizar será el Principio de Tercer Excluso (PTE) pV~ p.
La formula falla en cuado /α /=I.
Lukasiewicz resuelve este problema introduciendo una nueva disyunción, distinta a .
p ¥ q es definida ~p → q
Con la introducción de esta nueva disyunción es posible formular el Principio del Tercer Excluso de modo que sea una Tautología.
El caso que más interesa a la presente ponencia es el caso del Principio de No Contradicción, (PNC) ~(p^~p).
Cuando /α/=I entonces el PNC resulta con valor de verdad I.
Una posible forma de solucionar el problema es redefinir la noción de Tautología, pasar de “siempre resulta T” a “siempre resulta o T o I”. Entonces las Tautologías de C2 serán Tautologías en L3. Pero A. R. Turquette demostró que esto es falso con la siguiente formula;
~(α→~ α)V~(~α→α).
El problema con la formulación del PNC en L3 radica en todas las formulas bien formadas que estén únicamente formadas por los operadores de negación, disyunción o conjunción darán como resultado I cuando todas las variables proposicionales tengas dicho valor. Situación que continua si intentamos formular el PNC con implicación; trasformando la formulación del PNC, con las definiciones que da Lukasiewicz en la construcción de L3.
1. ~(p^~p) PNC
2. α^β ≡ ~(~αV~ β) Definición de conjunción.
3. αV β ≡ (α →β) → β Definición de la disyunción.
4. ~[~{~pV~(~p)}] 1, aplicación de 2
5. ~pV~(~p) 4 eliminación de la negación.
6. ~pVp 5 eliminación de la negación.
7. (~p→p) →p 6, aplicación de 3
p (~ p →p) →p
I I I T I I I
Otra posible solución sería sustituir la disyunción de la formula bien formada resultado de aplicar el teorema de De Morgan al PNC, por la disyunción introducida por Lukasiewicz, ¥. De este modo se convierte el PNC en el PTE. Que como ya se vio es tautológico.Pero el Teorema de De Morgan es sólo valido para la conjunción y disyunción original. Para que la última solución funcione se deberá validar el Teorema de De Morgan para la nueva disyunción.
De Morgan es todavía valido, garantizando de ese modo la conversión del PNC en el PTE. Al parecer el problema queda resuelto, pues hemos encontrado el modo de expresar el PNC. Pero aun queda una cosa esto es; la validación sólo nos indica que el cambio es posible del PNC al PTE Si se busca que el cambio sea reversible debemos comprobar si las formulas bien formadas (a saber PNC y PTE) son equivalentes
En L3 no son convertibles el PNC con el PTE, pues en tres casos, no es posible la pasar del PTE al PNC. Por lo que podemos asegurar que no significan lo mismo, y que no son validamente identificables. A pesar que en esos mismos casos es posible la conversión del PNC al PTE.
Hasta hora hemos intentado expresar el PNC de modo que sea tautología, transformando la conjunción, la disyunción (tanto la clásica como la de Lukasiewicz) e incluso la implicación. Sin el mayor éxito.
Faltara ver si es posible lograrlo analizando la negación. El principal problema con la negación con el valor de verdad I, se encuentra en que con él la negación pierde su principal característica. En C2 la negación siempre trasformaba el valor de verdad, (de T a F y de F a T). Pero cuando se encuentra con el valor de verdad I, el valor de verdad no sufre alteración. Cuando se ignora el valor de verdad de alguna proposición, negarla no alterara de modo alguno su significado.
Hasta el momento no ha sido necesario un cálculo de predicados. Para lograr cambiar la no-transformación del valor de verdad I por la negación será necesario la introducción de cálculo de predicados. Considerando el gran número de objetos no-homogéneos que hay en el dominio, y el extenso rango de predicados; existen tres situaciones o relaciones entre el sujeto “α” y su predicado “Φ”.
· Φα. Donde Φ es predicable verdaderamente a “α”.
· Φα. Donde Φ es predicable falsamente a “α”.
· Ni Φα ni Φα. Donde Φ no es predicable a “α”
El significado de la proposición Pa, dependerá de la relación que guarden su sujeto y su predicado.
Situación Valor de verdad de Pa
Φα T
Φα F
Ni Φα ni Φα I
Decir “Pa no es verdad” es hacer una aserción (negativa) relativamente débil que no especifica si se encuentra, Pa, en la situación dos o tres. Decir “Pa es verdad” es hacer una aserción más fuerte y específica en la cual se señala que se encuentra, Pa, en la situación dos.
Estos dos modos de negación deben ser tratados con cuidado:
(Tabla 17)
α Nw α Ns α
T F F
I T F
F T T
Con estos dos modos distintos de negar, podemos alterar el valor de I, en la negación. Antes al no lograrlo era imposible hacer del PNC una tautología. Analizaremos el PNC bajo estas nuevas formas de negar. En cuanto a los valores de verdad únicamente consideraremos el caso en que / α/=I.
La formulación del PNC, tiene dos negaciones, por lo que existen cuatro casos en lo que refiere el tipo de negación que se este utilizando. La primera negación débil y la segunda negación débil; la primera negación débil y la segunda negación fuerte; la primera negación fuerte y la segunda negación débil; la primera negación fuerte y la segunda negación fuerte.
p Nw (p ^ Nw p)
I T I I T I
p Nw (p ^ Ns p)
I T I F F I
p Ns (p ^ Nw p)
I F I I T I
p Ns (p ^ Ns p)
I T I F F I
En el tercer caso, cuando la primera es una negación fuerte y la segunda una negación débil, el valor de verdad del PNC es falso, por lo que no es tautológico.Como última opción queda, introducir una nueva conjunción, cuya tabla de verdad conserve el significado de la conjunción original con excepción del caso donde ambas variables proporcionales tiene valor de verdad I. En este caso, el valor de verdad deberá ser “F”. Esto es imposible, pues rompe con una de las características principales de la conjunción; su valor de verdad siempre lo tomara del valor de verdad más cercano a la F, que cualquiera de sus variables propsicionales tenga. El valor de verdad de la conjunción es tomado directamente de una de sus variables proposicionales; si no se presenta dentro de las variables proposicionales el valor de verdad F, es imposible que el valor de verdad de la conjunción sea F. Lo mismo ocurre con los demás valores de verdad en la conjunción.
Otro sistema trivalente fue el presentado en 1938 por Stephen Colen Kleene, llamado K3. En este sistema trivalente la imposibilidad de conocer el valor proposicional, no se deriva del objeto referido sino de obstáculos gnoseológicos o epistémicos de quien formula la proposición. La proposición de hecho puede tener valor de verdad, pero permanece oculto para quien hace la proposición.
La única diferencia con el sistema anterior consiste en que Kleene cambia la implicación, usada en Lukasiewicz, por la implicación material, definida; ~pVq. Incluso cuando ambas variables proposicionales tienen de valor de verdad I.
El sistema de Kleene trae consigo dos consecuencias. Al conservar los valores de verdad para la negación, disyunción y conjunción el PNC no será tautológico. Pero al introducir la implicación material, y la nueva equivalencia, el sistema de Kleene, es un sistema que no cuenta con alguna tautología.
Ni “αↄα” es tautológico pues cuando /α/=I, el resultado es I.
La introducción de los sistemas trivalentes a la lógica formal, mostró que el PNC sólo funciona cuando los tiene valores de verdad definidos. El valor de verdad I, es equivalente a decir “no se”, “no conozco su valor de verdad”, “puede ser o verdadero o falso”.
Cuando se introduce la ignorancia o la posibilidad que una proposición tenga ambos valores de verdad, el PNC deja de ser tautología. Sin importar las razones por las cuales el valor de verdad de la proposición sea desconocido, puede ser a causa del objeto que la proposición se refiere o a una imposibilidad de quien hace la proposición.
El valor de verdad I también muestra que el PNC y el PTE, que en C2 eran equivalentes, en L3 o en K3 expresan cosas distintas. El hecho que el PNC sea convertible con el PTE, pero que no sean equivalentes, nos marcan que cuando se confirme el PCN se puede inferir el PTE, pero no a la inversa. El PTE no es garantía del PNC.